写在前面的话

如果你有一个下午的空闲时间，你会做些什么事情呢？如果没有什么特别想做的事情，那么喝下午茶之前，不妨来看看数学吧！

如果可以，我会尽量少用公式。

我非常希望你在看完之后，能够感觉手里的微积分教材不再是一块板砖。原来数学也可以很有趣（

一个问题

假设你想在去图书馆看看书，图书馆有四层楼，每层楼都有许多位置。你可能更偏爱三楼角落里靠窗的那个位置，也许是一楼柔软的沙发。

好吧，可能我会更喜欢待在有自然光照射的地方（你可能和我有不同的爱好。不过，有一件事可以肯定，那就是：不同位置的光线是不同的。我想找到光照最适合我的位置（比如说这个位置的光强是几千勒克斯，我该怎么办呢？

我们可以抽象出一个概念：光强场。如果我能知道每一个位置的光照强度，那我就可以很好的判断哪个位置是我最喜欢的。不仅如此，倘若这个位置已经有人使用，我们可以找到若干和此位置光强相差不大的位置，坐在这些地方也是不错的选择。

其实场是无处不在的，学过物理学以后，你多多少少会对电场，磁场，温度场，速度场，重力场等等场有一些印象。它们和光强场类似，有一些共同的性质。比如，对于空间中的某个位置，都存在某个对应的量，可能是标量（也就是只有数量），也可能是矢量（既有大小又有方向）

假设我们考虑的这些场不随时间变化，也就是说这是一个稳定场（其实这个假设帮我们避开了一些麻烦），现在我们首先要做的就是描述清楚这个场。那么问题随之产生：描述一个给定的未知稳定场（什么是描述？为什么要描述？？怎么描述？？？

是不是有些无从下手？没关系，我们可以大胆地给出一些假设，让问题变得特殊一些，看看我们能发现什么线索。

首先，我们把未知换成已知，这样我们就拥有更多信息了！

根据场的定义，现在我们已经知道空间中各个位置处对应的量。perfect！虽然仍然很抽象，但是让我们拿它们来做一些事情吧！

上面这六个问题，你很可能在你的数学或物理教材里看到过（是的，至少我看到过）。你可能会问，布什戈门，这和场有什么关系呢？这明明是多元微积分问题。

有的兄弟，有的。这样的问题不只六个。让我们一个一个分析它们……

分析之前，先记住十个字：分割取近似，求和去极限。微积分的魅力就蕴含在这十个字里了。

如果我知道平面薄片每个位置的密度，我是不是可以得到它的质量呢？答案是肯定的。确实呀，一开始可能不太好理解呢。

回顾我们的十字法则：分割取近似，求和取极限。

step1分割：随便把你的平面薄片切成小块，越小越好，（和切牛排一样，我相信你一口吃不下一整块牛排
step2近似：如果我们把薄片分割足够小，我们就可以认为这一小片是密度均匀的。为什么？那你问我？虽然我也没办法给出很好的证明，要不回想一下初中第一次接触物理时老师怎么解释质点的。没错，经典的例子，研究地球绕太阳公转，地球就可以视作质点。尽管一种密度可以跃变的牛排看上去很奇怪，但只要想起电荷量子化，而电流却好像可以为任意值这件事，应该就不难理解宏观和微观的区别。
step3求和：把每小块的质量加起来吧，这个大家都很熟悉了。
step4极限：在分割足够小之后，我们就会得到无穷多块平面小薄片，每块小薄片的质量都是它的密度乘上对应的面积。

等等！看看我们发现了什么！当面积无限小的时候，薄片就好像退化成了一个点。而每个小块都是不同的点，因而在这些点处有相应的密度。

想起了什么？！不同位置对应着不同的量。是的，这就是一个稳定场。叫它密度场好啦！

那么我们发现，如果给我们一个密度场的信息（包括位置坐标和各位置对应的密度），我们好像能求出平面薄片的质量。如果是三维空间呢？在三维坐标下，就是空间物体的质量，这就是问题2！

诶，为什么要用好像这个词呢？我说过我尽量不使用公式。想要把这个美妙的思路（这何尝不是一种算法呢？）进行实现，我们就需要一些数学手段了。得使用抽象的数学语言，就像你用c语言或者java的数据结构实现某种算法那样。（其实准确的说用编程语言实现算法像我们用数学知识解数学题。不过这不是今天的重点啦）

帮我们实现这一构想的数学工具就是——多元微积分

如果我的台词是，直线研究完以后，接下来研究曲线，我猜大多数人不会想看接下来的内容（遇到这种情况我也不会想看，谁会想看一些敷衍人的东西呢？）

好的，那么我们为什么要研究曲线呢？

我们已经可以利用稳定场的信息描述一部分这个场的性质，也就是刚才在密度场中求的质量。这是场的累加效应，可以用来描述场内的区域所具有的性质。如果区域的形状不规则呢？是不是又束手无策了？

让我们看看沿着空间中的弯曲路径，也就是曲线弧和曲面片，我们可以得到什么关于场的性质呢？

（未完待续……